ماژول math

ماژول math یکی از پرکاربردترین ماژول‌های کتابخانه استاندارد پایتون است که دسترسی به توابع ریاضی رایج و ثابت‌های مهم را فراهم می‌کند. این ماژول در واقع یک پوشش نازک روی توابع ریاضی کتابخانه C استاندارد است و بنابراین بسیار سریع است. توابع این ماژول برای کار با اعداد حقیقی (int و float) طراحی شده‌اند و از اعداد مختلط پشتیبانی نمی‌کنند؛ برای اعداد مختلط باید از ماژول cmath استفاده شود.

ماژول math توابع خود را در ۸ دسته اصلی سازمان‌دهی کرده است: نظریه اعداد، حساب اعشاری، دستکاری اعداد اعشاری، توان و لگاریتم، جمع و ضرب، تبدیل زاویه، مثلثاتی و هایپربولیک. علاوه بر توابع، ثابت‌های ریاضی مهمی مثل عدد پی و ثابت اویلر هم در این ماژول تعریف شده‌اند.

برای استفاده از این ماژول، ابتدا باید آن را ایمپورت کنید:

import math

ثابت‌های ریاضی

ماژول math پنج ثابت ریاضی از پیش تعریف‌شده دارد:

>>> import math

>>> math.pi
3.141592653589793
>>> math.e
2.718281828459045
>>> math.tau
6.283185307179586
>>> math.inf
inf
>>> -math.inf
-inf
>>> math.nan
nan

نکته: همانطور که قبلاً در نوشته معرفی اعداد اعشاری صحبت شد، math.nan با هیچ مقداری برابر نیست، حتی با خودش! برای بررسی NaN همیشه از math.isnan استفاده کنید.

>>> math.nan == math.nan    # روش غلط
False
>>> math.isnan(math.nan)    # روش درست
True

توابع نظریه اعداد

• تابع factorial – فاکتوریل عدد صحیح غیرمنفی را برمی‌گرداند. ورودی باید عدد صحیح باشد
• تابع gcd – بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه مشترک اعداد صحیح ورودی را برمی‌گرداند
• تابع lcm – کوچک‌ترین مضرب مشترک اعداد صحیح ورودی را برمی‌گرداند
• تابع isqrt – جذر صحیح عدد غیرمنفی را برمی‌گرداند (نتیجه همواره int است)
• تابع comb و perm – ترکیبیات و جایگشت را محاسبه می‌کنند

>>> math.factorial(10)
3628800
>>> math.gcd(100, 75, 50)
25
>>> math.lcm(3, 5, 7)
105
>>> math.isqrt(17)
4
>>> math.comb(10, 3)    # C(10,3) = 10!/(3!×7!)
120
>>> math.perm(10, 3)    # P(10,3) = 10!/7!
720

توابع حساب اعشاری

• تابع ceil – کوچک‌ترین عدد صحیح بزرگ‌تر یا مساوی x را برمی‌گرداند (گرد به بالا)
• تابع floor – بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا مساوی x را برمی‌گرداند (گرد به پایین)
• تابع trunc – بخش اعشاری را حذف می‌کند و فقط بخش صحیح را برمی‌گرداند (همیشه به سمت صفر گرد می‌کند)
• تابع fabs – قدر مطلق x را همیشه به صورت float برمی‌گرداند (برخلاف تابع abs)
• تابع modf – بخش اعشاری و بخش صحیح را به صورت یک جفت برمی‌گرداند
• تابع fmod – باقیمانده تقسیم x بر y را طبق تعریف کتابخانه C محاسبه می‌کند (تفاوت آن با عملگر % پایتون در علامت نتیجه است)
• تابع fma – عملیات ضرب و جمع ترکیبی را با دقت بیشتر از (x * y) + z معمولی محاسبه می‌کند (چون فقط یک بار گرد می‌شود)

>>> math.ceil(3.9)
4
>>> math.ceil(-3.2)
-3
>>> math.floor(3.2)
3
>>> math.floor(-3.2)
-4
>>> math.trunc(3.9)
3
>>> math.fabs(-3.14)
3.14
>>> math.fabs(-7)
7.0
>>> math.modf(3.14)
(0.14000000000000012, 3.0)
>>> math.fmod(-10.5, 3.0)
-1.5
>>> -10.5 % 3.0
1.5
>>> math.fma(2.0, 3.0, 4.0)     # (2.0×3.0)+4.0
10.0

توابع دستکاری اعداد اعشاری

• تابع isclose – بررسی می‌کند که آیا دو عدد به اندازه کافی به هم نزدیک هستند یا خیر.
• تابع isfinite – بررسی می‌کند که آیا مقدار ورودی متناهی است یا خیر
• تابع isinf – – بررسی می‌کند که آیا مقدار ورودی نامتناهی است یا خیر
• تابع isnan – بررسی می‌کند که آیا مقدار ورودی nan است یا خیر
• تابع copysign – قدر مطلق آرگومان اول را با علامت آرگومان دوم ترکیب می‌کند:
• تابع frexp و ldexp – مکمل یکدیگرند و برای کار با نمایش باینری اعداد اعشاری به کار می‌روند

>>> math.isclose(0.1 + 0.2, 0.3)   # correct way
True
>>> 0.1 + 0.2 == 0.3               # wrong way
False
>>> math.isclose(1.0, 1.001, rel_tol=0.01)    # relative tolerance 1%
True
>>> math.isfinite(3.14)
True
>>> math.isfinite(math.inf)
False
>>> math.isinf(1e308 * 10)      # overflow → inf
True
>>> math.copysign(3.0, -1.0)
-3.0
>>> math.frexp(8.0)             # 8.0=0.5×2^4
(0.5, 4)
>>> math.ldexp(0.5, 4)          # 0.5×2^4=8.0
8.0

تابع isclose جایگزینی امن برای عملگر == در مقایسه مستقیم اعداد اعشاری است.

نکته مهم: وقتی از تابع isclose برای مقایسه با 0.0 استفاده می‌کنید، حتماً abs_tol را تعریف کنید. چون rel_tol نسبی است و نسبت به صفر معنی ندارد.

>>> math.isclose(0.0, 1e-10, abs_tol=1e-9)
True
>>> math.isclose(0.0, 1e-10)
False

توابع توان، نمایی و لگاریتمی

• تابع sqrt – جذر (ریشه دوم) اعداد مثبت را محاسبه می‌کند
• تابع cbrt – ریشه سوم اعداد مثبت را محاسبه می‌کند
• تابع pow – آرگومان اول را به توان آرگومان دوم می‌رساند
• تابع exp – عدد e را به توان می‌رساند
• تابع exp2 – عدد ۲ را به توان می‌رساند
• تابع expm1 – مقدار e^x − 1 را حساب می‌کند (برای xهای خیلی نزدیک به صفر به کار می‌رود)
• تابع log – لگاریتم عدد را در مبنای دلخواه حساب می‌کند
• تابع log2 – لگاریتم عدد را در مبنای ۲ حساب می‌کند
• تابع log10 – لگاریتم عدد را در مبنای ۱۰ حساب می‌کند
• تابع log1p – مقدار ln(1+x) را حساب می‌کند (برای xهای خیلی نزدیک به صفر به کار می‌رود)

>>> math.sqrt(16.0)
4.0
>>> math.cbrt(-8.0)
-2.0
>>> math.pow(2.0, 10)
1024.0
>>> math.exp(1)              # e^1
2.718281828459045
>>> math.exp2(10)            # 2^10
1024.0
>>> math.expm1(1e-10)        # e^x − 1
1.00000000005e-10
>>> math.log(math.e)
1.0
>>> math.log2(1024)
10.0
>>> math.log10(1000)
2.9999999999999996
>>> math.log1p(1e-10)        # ln(1+x)
1e-10

نکته: دقت کنید که نتیجه محاسبه log2(x) از نتیجه log(x, 2) دقیق‌تر است. توابع log10 و expm1 و log1p هم نسبت به محاسبات دستی مقادیر آنها،‌ دقت بهتری دارند.

توابع جمع و ضرب

• تابع fsum – جمع دقیق اعداد اعشاری یک ایتریبل را برمی‌گرداند
• تابع prod – ضرب تمام عناصر یک ایتریبل را برمی‌گرداند
• تابع hypot – نُرم اقلیدسی (فاصله ریشه مجموع مربعات) را محاسبه می‌کند
• تابع dist – فاصله اقلیدسی بین دو نقطه را محاسبه می‌کند
• تابع sumprod – مجموع حاصل‌ضرب‌های متناظر دو ایتریبل را با دقت بالا برمی‌گرداند

>>> sum([0.1] * 10)                 # not precise
0.9999999999999999
>>> math.fsum([0.1] * 10)           # precise
1.0
>>> math.prod([1, 2, 3, 4, 5])
120
>>> math.prod([2, 3, 4], start=10)  # start from 10
240
>>> math.hypot(3, 4)                # √(3²+4²)=√25
5.0
>>> math.dist([0, 0], [3, 4])
5.0
>>> math.sumprod([1, 2, 3], [4, 5, 6])      # (1×4)+(2×5)+(3×6)=32
32

توابع تبدیل زاویه

تمام توابع مثلثاتی ماژول math با رادیان کار می‌کنند.

• تابع degrees – تبدیل رادیان به درجه را انجام می‌دهد
• تابع radians – تبدیل درجه به رادیان را انجام می‌دهد

>>> math.degrees(math.pi)
180.0
>>> math.degrees(math.pi / 2)
90.0
>>> math.radians(180)
3.141592653589793

توابع مثلثاتی

دقت کنید که همه توابع مثلثاتی در ماژول math، ورودی را به رادیان می‌گیرند:

>>> math.sin(math.pi/2)        # sin(90°) = 1
1.0
>>> math.cos(0)                  # cos(0°) = 1
1.0
>>> math.tan(math.pi/4)        # tan(45°) = 1
0.9999999999999999
>>> math.asin(1.0)               # arcsin(1) = π/2
1.5707963267948966
>>> math.acos(0.0)               # arccos(0) = π/2
1.5707963267948966
>>> math.atan(1.0)               # arctan(1) = π/4
0.7853981633974483

توابع هایپربولیک

ماژول math در پایتون از توابع مثلثاتی هایپربولیک به صورت کامل پشتیبانی می‌کند:

>>> math.sinh(0)
0.0
>>> math.cosh(1)
1.5430806348152437
>>> math.tanh(1)
0.7615941559557649
>>> math.asinh(1.1752011936438014)
1.0
>>> math.acosh(1.5430806348152437)
1.0
>>> math.atanh(0.7615941559557649)
0.9999999999999999

توابع ویژه

توابع دیگری مانند erf و erfc و … در ماژول math وجود دارند که در محاسبات آمار و احتمال می‌توانند به کار گرفته شوند.

مثال واقعی از ماژول math

در یک سناریوی فرضی، شما سیستمی برای تحلیل هندسی و آماری می‌نویسید که شامل محاسبات مثلثاتی، آمار توصیفی و بهینه‌سازی ترکیبیاتی است.

کدهای این مثال به همراه خروجی نهایی را می‌توانید از اینجا دانلود کنید.

سوالات متداول

جهت کسب اطلاعات بیشتر می‌توانید به مستندات رسمی پایتون برای ماژول math مراجعه کنید.